Sobre áreas y perímetros

Para medir la cantidad de área por cada unidad de perímetro podríamos, ingenuamente, definir u = A / p, donde A es el área de la figura y p su perímetro. No obstante, esta unidad no se mantiene constante al cambiar una misma figura de tamaño, y además es dimensional, por ejemplo [u] = [m²] / [m] = [m]. Podríamos elevar el perímetro al cuadrado, o tomar la raíz cuadrada del área, pero entonces perdemos el significado intuitivo.

Una solución que resuelve ambos problemas es dividir el área de un objeto por el área de un círculo del mismo perímetro: u' = A / A_c

p = 2π.r_c

r_c = p / 2π

A_c = π.(r_c)² =  π.(p / 2π)² = p² / (4π)

u´ = A / A_c = A / A_c = 4π.A / p²

De esta forma, el valro máximo de u' será 1, como se puede ver en esta hoja de cálculo.

¿Y esto por qué me importa?