Notación: Vectores y puntos en minúscula, vectores en negrita. Espacios afines y vectoriales en mayúscula, vectoriales en negrita. Así, /A es el espacio vectorial del espacio afín /A, L1 el asociado a L1, p1p2 el vector entre p1 y p2, etc. Normalmente estos espacios vectoriales o estos vectores se representan con una flechita por encima, pero a falta de faisán, buenos son rábanos con pan.
→← se lee 'contradicción'
Proposición: Sea /A un espacio afín, L1, L2 subespacios afines / dim(/A)= n; /A = L1 ⊕ L2
⇒ ∃! p ∈ /A / L1 ∩ L2 = {}
Demostración:
(1): La intersección no es vacía.
Escribamos
L1 = p1 + L1
L2 = p2 + L2,
p1p2 ∈ L1 ⊕ L2, ya que L1 ⊕ L2 = /A
[Alternativamente, supongamos que p1p2 ∉ L1 ⊕ L2 Entonces L = p1p2 ⊕ L1⊕ L2 ⊂ /A, y parecería tener dimensión n+1 →←]
Ahora, como p1p2 ∈ L1 ⊕ L2, podemos descomponer p1p2 = v + w / v ∈ L1 , w ∈ L2
Sea entonces a = p1 + v, b = p2 - w. Es claro que a ∈ L1, b ∈ L2
Consideremos ab = p1p2 - v - w = p1p2 - p1p2 = 0 ⇒ ab = 0 ⇒ a = b, y por tanto a = b ∈ ( L1 ∩ L2 )
(2): El punto es único.
Esto ya es directo, si hay p1 , p2 , que pertenecen a L1 ∩ L2 entonces el vector que los une pertenece tanto a L1 como a L2, y por tanto su suma no es directa.
La pertenencia de un subconjunto a otro subconjunto se representa con C y no con ∈. ∈ es para representar la pertenencia de puntos a subconjuntos.
ResponderEliminarSí, pero no consigo ver dónde he cometido el fallo.
EliminarSupongo que se trata de la primera proposición: p c /A, en vez de p ∈ /A.
EliminarSi no, yo tampoco veo ningún fallo.
La entrada ha sido bastante editada. En un principio me iba por el camino de asumir que no había ningún punto en común y llegar a un espacio de dimensión n+1. Luego asumir que vector(p1p2) no pertenecía a L1(+)L2, que es lo que está entre corchetes ahora, y cada vez que lo he vuelto a leer, lo he ido simplificando un poco.
EliminarPero de lo que se quejaba Jorge es de que en un principio había escrito los puntos con mayúscula. Por otro lado, yo utilizo elemento ∈ Conjunto, y por tanto p ∈ /A. Pero la nomenclatura no es conocimiento.
La nomenclatura no es conocimiento pero es una forma de hacer que se entienda el conocimiento que intentas transmitir.
EliminarDe cualquier modo, gran entrada. Probablemente me cambie a matemáticas y este tipo de cosas me hacen desearlo más.
Enhorabuena (honestamente): acabas de redescubrir una de las ideas más importantes de Wittgenstein. Ahora la pregunta es, ¿Hay algún tema, dominio, área, que sea inaccesible incluso con la ayuda de algún ingenioso tipo de nomenclatura?
EliminarÁmbito, la palabra que buscaba era ámbito.
EliminarHabría de pensarlo con más detenimiento.
EliminarTeniendo en cuenta que el grado de desorden de un sistema tiene una nomenclatura físico-matemática para estudiarla y que incluso espacios de orden superior son accesibles con matemáticas básicas(para casos sencillos), no se me ocurre ahora mismo ningún ámbito(que es sinónimo de área en tu comentario anterior, o al menos eso creo) que no sea accesible con una nomenclatura adecuada.
Ahora el problema radica en encontrar una notación que encaje con el tipo de estudio.
Me he limitado a hablar sobre matemáticas y física porque no me aventuro a hablar de otros temas sin haber ahondado más. No obstante, no descarto haberme equivocado incluso en la materia con la que he ejemplificado. Cualquier persona que comente es libre de corregirme.